第七章 ：笔来！（二更求追读）

第七章 ：笔来！（二更求追读） (第2/2页)

桑凯也想看看。
　　
　　图书馆中，韩川不知道桑凯脑子里这些弯弯绕。他只是盯着题目，脑子里正在飞速地翻找相关的知识点。
　　
　　假设存在某点函数值为负，然后利用导数条件推出矛盾.....不行，反证法行不通。
　　
　　拉格朗日中值定理呢？
　　
　　好像可以，但这需要处理两个区间上的一阶导数关系，还要引入二阶导数来刻画一阶导数的单调性。因为f″≤0意味着f′单调递减。
　　
　　这有点太麻烦，有没有更简单的方法？
　　
　　桑凯靠在椅背上，看着韩川皱眉的样子，心里的憋闷稍微散了一点，悬着的心也放松了不少，笑着开口道。
　　
　　“不会就算了，没事，我看看答案研究一下。”
　　
　　看样子上学期打了一学期的游戏，这个室友的水平已经远不如他了。
　　
　　书桌前，韩川没理会桑凯，思索了一会后，他忽然想到了什么，快速地开口道。
　　
　　“逼来！”
　　
　　桑凯愣了一下，下意识地递上了笔。
　　
　　握着笔，韩川拉过稿纸，画了一条凹函数的草图。
　　
　　【令x₀∈(0，1)为任意一点。因为f″(x)≤0，所以f′(x)在[0，1]上单调递减。由拉格朗日中值定理，在(0，x₀)上存在ξ₁，使得f(x₀)−f(0)=f′(ξ₁)(x₀−0)，即f(x₀)=f′(ξ₁)x₀。】
　　
　　【在(x₀，1)上存在ξ₂，使得f(1)−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)，即−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)。所以f(x₀)=−f′(ξ₂)(1−x₀)。】
　　
　　【因为f′单调递减，而ξ₁0。由f′的单调递减性，f′(ξ₁)≥f′(ξ₂)，即f′(ξ₁)−f′(ξ₂)≥0。但f′(ξ₁)0，故f′(ξ₁)−f′(ξ₂)0，f′(ξ₁)x₀要等于一个负数，那f′(ξ₁)只能是负的？”
　　
　　“缤购！”
　　
　　韩川打了个响指，笑道：“对！由此同理，−f′(ξ₂)(1−x₀)要等于一个负数，而(1−x₀)>0，所以−f′(ξ₂)必须是负的，也就是f′(ξ₂)必须是正的。”
　　
　　听完韩川的讲解，桑凯盯着手中稿纸上的算式慢慢吐出一口气。
　　
　　“原来如此....”
　　
　　话音未落，他似乎就想起了什么，迅速拿过了一旁的训练本，翻到了最后的答案页。
　　
　　“等会，你这个解法，好像和标准答案上的解法不一样！”